Casson-Nanoflüssigkeitsfilm fließt mit der Zeit über eine instabile, sich bewegende Oberfläche

Scientific Reports Band 13, Artikelnummer: 4074 (2023) Diesen Artikel zitieren

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Die vorliegende Studie erklärt den instationären Casson-Nanoflüssigkeitsfilmfluss über eine Oberfläche, die sich mit der Geschwindigkeit \(U_w=\lambda x/t\) bewegt. Die maßgebliche Impulsgleichung wird mithilfe einer entsprechenden Ähnlichkeitstransformation auf die ODE reduziert, die dann mithilfe numerischer Techniken gelöst wird. Das Problem wird sowohl für die zweidimensionale Filmströmung als auch für die achsensymmetrische Filmströmung analysiert. Es wird die exakte Lösung abgeleitet, die die maßgebliche Gleichung erfüllt. Es ist zu beachten, dass die Lösung nur für einen bestimmten Maßstab des Bewegungsoberflächenparameters \(\lambda\) existiert. d. h. \(\lambda \ge -1/2\) für zweidimensionale Strömung und \(\lambda \le -1/4\) für achsensymmetrische Strömung. Die Geschwindigkeit steigt zunächst an, erreicht die Maximalgeschwindigkeit und sinkt dann auf die Randbedingung ab. Stromlinien werden auch für axialsymmetrische und zweidimensionale Strömungsmuster analysiert, indem die Streckungs- (\(\lambda >0\)) und schrumpfenden Wandbedingungen (\(\lambda <0\)) berücksichtigt werden. Es wurden Untersuchungen für große Werte des Wandbewegungsparameters \(\lambda\) durchgeführt. Das Ziel dieser Untersuchung ist die Analyse des Casson-Nanoflüssigkeitsfilmflusses, der in Branchen wie der Beschichtung von Blechen oder Drähten, Laboren, der Malerei und vielen anderen Anwendungen Anwendung findet.

Für das Verständnis und die Konstruktion verschiedener Wärmetauscher und industrieller Verarbeitungsmaschinen ist es von entscheidender Bedeutung, die Strömung und Wärmeübertragung innerhalb einer dünnen Flüssigkeitsschicht zu verstehen. Zu den Anwendungen gehören Draht- und Faserbeschichtung, Polymerverarbeitung, Reaktorfluidisierung, Verdampfungskühlung, Lebensmittelverarbeitung und andere häufige Anwendungen. Die Herstellung von Kunststoffplatten, Papier, Linoleum, Isolatorbauteilen, Dachschindeln, feinen Fasermatten, Grenzschichten entlang von Flüssigkeitsfilmen in Kondensationstechniken etc. erfordert die thermische Bearbeitung bahnförmiger Bauteile1. Bei solchen Bearbeitungsvorgängen bewegt sich das Blech häufig entlang seiner eigenen Ebene. Die Flüssigkeit neben der sich bewegenden Platte kann sich unabhängig davon bewegen oder alternativ kann sich die Flüssigkeit aufgrund erzwungener Konvektion parallel zur Bewegung der Platte bewegen. Eine hochwertige Extrudatoberfläche ist das Ziel jedes Extrusionsverfahrens. Für eine bessere Produktqualität ist es entscheidend, den Widerstand und den Energiefluss zu regulieren. Aufgrund der enormen Einsatzmöglichkeiten von Nanoflüssigkeiten als technische Instrumente in verschiedenen technischen Bereichen widmen sich immer mehr Forscher der Untersuchung der laminaren Strömung einer dünnen Flüssigkeitsschicht über eine Streckfolie. Im Hinblick auf alle oben genannten Anwendungen untersuchten Sparrow und Gregg2 zunächst das Problem der Laminarfilmkondensation auf einer vertikalen Platte, indem sie die Theorie der Grenzschichtströmung und Ähnlichkeitstransformationen verwendeten. Dann erweiterten sie die Arbeit, um die Wärme- und Stoffübertragung in einem Flüssigkeitsfilm auf einer rotierenden Scheibe zu analysieren3. Wang4 untersuchte das Schmelzen einer horizontal rotierenden Scheibe und das nichtlineare Gleichungssystem wurde mithilfe der Störungstechnik angegangen. Dandapat und Ray5,6 untersuchten die thermische Kapillarität und die Kühlwirkung auf eine dünne Flüssigkeitsschicht über einer rotierenden Scheibe. Wang7 war der erste, der die Hydrodynamik einer dünnen Flüssigkeitsschicht auf einer Spannfolie berücksichtigte, nachdem er die instabilen Navier-Stokes-Gleichungen mithilfe einer Ähnlichkeitstransformation in nichtlineare gewöhnliche Differentialgleichungen umgewandelt hatte. Mit der Überprüfung verschiedener Geschwindigkeits- und thermischer Randbedingungen wurde Wangs Arbeit von anderen Forschern weiterentwickelt, darunter Usha und Sridharan8, Chen9,10, Andersson et al.11, Abbas et al.12, Liu und Andersson13,14, Wang15 und Dandapat et al.16,17,18. Mahabaleshwar et al.19,20 analysierten mit MHD eine elektrisch leitende Newtonsche Flüssigkeit, die an einer superlinearen Dehnungs-/Schrumpffolie vorbeifließt. Jitendra et al.21 untersuchten die nichtlineare hydrodynamische laminare Strömung einer viskosen, inkompressiblen Flüssigkeit an einer magnetischen Grenzschicht entlang einer porösen Streckfolie mit Saug-/Injektionsfunktion.

Der Umfang der oben genannten Studien bezog sich ausschließlich auf die laminare Strömung Newtonscher (reiner) Flüssigkeiten. Allerdings interessiert sich die Wissenschafts- und Ingenieursgemeinschaft in jüngster Zeit aufgrund ihrer industriellen Verwendung für Nanoflüssigkeiten (ein von Choi geprägter Begriff22). Aufgrund der unterschiedlichen physikalischen und chemischen Eigenschaften nanoskaliger Materialien ist die Nanotechnologie eine neue Disziplin mit weit verbreiteter Anwendung in der Wirtschaft. In diesen Flüssigkeiten sind kolloidale Suspensionen verschiedener Materialien, Oxide, Metalle und Nichtmetalle, Siliziumkarbid oder Kohlenstoffnanoröhren in einer Grundflüssigkeit vorhanden. Ethylenglykol und Wasser sind typische Basisflüssigkeiten. Zahlreiche Wärmeübertragungsprozesse, beispielsweise in Brennstoffzellen, Mikroelektronik, pharmazeutischer Produktion und Hybridantriebsmotoren, können von den Eigenschaften von Nanoflüssigkeiten profitieren. Im Vergleich zu den Basisflüssigkeiten weisen sie verbesserte Wärmeübergangskoeffizienten und Wärmeleitfähigkeiten auf. Aus diesem Grund werden Nanoflüssigkeiten häufig herkömmlichen Kühlmitteln wie Ölen aus Wasser und Ethylenglykol vorgezogen. Die neuesten Arbeiten von Das et al.23 und Übersichtsartikel von Ding et al.24, Buongiorno25, Wang und Mujumdar26,27, Daungthongsuk und Wongwises28, Kakaç und Pramuanjaroenkij29 bieten ausführliche Referenzen zu Nanofluiden. Eine höhere Wärmeleitfähigkeit in thermischen Systemen kann durch den Einsatz von Nanofluiden erreicht werden, siehe Eastman et al.30 und Xie et al.31. Kumari und Nath32 untersuchten den instationären MHD-Film auf einer kontinuierlich rotierenden Scheibe. Mahabaleshwar33 betrachtete das Problem der linearen Dehnung der Folie im porösen Bereich mit Sog. Aktuelle Arbeiten zum Fluss hybrider Nanofluide über verschiedene Geometrien wurden in34,35,36,37,38,39,40,41,42,43,44,45 beschrieben.

Das Ziel dieser Forschung ist die Anwendung des mathematischen Nanofluidmodells zur Analyse des instabilen Casson-Nanoflüssigkeitsfilms, der durch eine lineare Streckgeschwindigkeit über eine sich bewegende Oberfläche gebildet wird. In dieser Arbeit betrachten wir die Wandgeschwindigkeit als \(U_w=\lambda x/t\). In den folgenden Teilen wird das Modell ausgedrückt, analysiert und numerisch gelöst. Die wichtigsten Erkenntnisse werden sowohl für rotationssymmetrische als auch für zweidimensionale Fälle grafisch dargestellt und erläutert.

Betrachten wir den inkompressiblen, laminaren Fluss des Casson-Nanofluids über einem sich instabil bewegenden flachen Blatt, das sich mit der Geschwindigkeit \(u_w(x, 0, t)\) bewegt. Es wird davon ausgegangen, dass der Flüssigkeitsfilm stabil ist und auf der Oberfläche eine feste Dicke h(t) aufweist und jederzeit flach bleibt. Unter der Annahme, dass der Umgebungsgasdruck \(p_0\) beträgt, wird der Film als freie Oberfläche mit Umgebungsgas an der Grenzfläche betrachtet. Die Wand wird als durchlässig angenommen, was \(v_w(x,0, t)=v_w\) ergibt. Das kartesische Koordinatensystem wird so gewählt, dass davon ausgegangen wird, dass die x-Achse entlang der Platte verläuft und die y-Achse orthogonal dazu ist, wie in Abb. 1 dargestellt. Die maßgeblichen Navier-Stokes-Gleichungen46 dieses betrachteten Problems nehmen die Form an

Schematische Darstellung des Problems.

den Zwängen ausgesetzt

Dabei geben u und v die Geschwindigkeitskomponenten in x- und y-Richtung an, \(\nu\) bezeichnet die kinematische Viskosität, \(\rho\) bezeichnet die Dichte, p bezeichnet den Flüssigkeitsdruck, \(B_0\) gibt den angewendeten Druck an magnetische Feldstärke, angelegt mit einem Neigungswinkel \(\alpha\). \(\epsilon =0\) spezifiziert die zweidimensionale Strömung und \(\epsilon =1\) spezifiziert das achsensymmetrische Strömungsmuster in den maßgeblichen Gleichungen. Betrachten wir die Geschwindigkeit der sich instabil bewegenden Wand als \(U_w=\frac{\lambda }{t}x\), wobei \(\lambda\) eine reelle Zahl ist. Da entlang der Grenzfläche kein Druckunterschied in x-Richtung besteht, hängt das Druckfeld für die betrachtete Strömungskonfiguration nur von y und t ab. Die maßgeblichen Gl. (1) bis (3) können zu Ähnlichkeitsgleichungen modifiziert werden, indem die Stromfunktion und die Ähnlichkeitsvariable46 wie folgt definiert werden:

Und

Dann haben die Geschwindigkeitskomponenten die Form \(u=\frac{1}{x^\epsilon }\frac{\partial \psi }{\partial y}=\frac{x f''(\eta )}{ t}\) und \(v=-\frac{1}{x^\epsilon }\frac{\partial \psi }{\partial x}=-(1+\epsilon )\sqrt{\frac{\nu }{t}}f(\eta )\). Der Ausdruck für das Druckfeld kann reduziert werden auf:

Die effektive Viskosität und Dichte von Nanoflüssigkeiten kann ausgedrückt werden als47

Mit diesen reduzieren sich die maßgeblichen Gleichungen als

wobei \(A=\frac{1}{(1-\phi )^{2.5}\left[ 1-\phi +\phi \frac{\rho _{s}}{\rho _{f}} \right] }\) und die entsprechenden Randbedingungen werden

wobei \(\beta\) die nichtdimensionale Dicke des Films bezeichnet, \(\lambda\) als Wandbewegungsparameter bekannt ist, wobei \(\lambda >0\) die Dehnung bezeichnet und \(\lambda <0\ ) bezeichnet Schrumpfen. Die Dicke des Films h(t) ergibt sich aus \(h(t)=\beta \sqrt{\nu t}\). Vergleich der Oberflächenvertikalgeschwindigkeit \(h'(t)=\frac{\beta \sqrt{\nu }}{2\sqrt{t}}=-(1+\epsilon )\sqrt{\frac{\nu } {t}}f(\eta )\) ergibt eine weitere Randbeschränkung \(f(\beta )=-\frac{\beta }{2(1+\epsilon )}\). Um die Berechnungen zu vereinfachen, wird die Transformation \(f(\eta )=\beta F(\frac{\eta }{\beta })=\beta F(\xi )\) verwendet

den Zwängen ausgesetzt

Da wir die exakten Lösungen der Gleichungen nicht erhalten können. (9) und (10) analytisch ist es erforderlich, numerische Techniken zur Lösung des Problems einzusetzen. Hier haben wir den MATLAB-Code bvp4c verwendet, der das Verfahren der Finite-Differenzen-Methode verwendet, um die Ähnlichkeitsgleichungen für verschiedene Strömungsparameter zu lösen. Die erhaltenen numerischen Lösungen werden in den Abschnitten „Numerische Lösungen“ und „Analyse des Lösungsverhaltens für große λ“ diskutiert und analysiert.

Um die Charakteristik des Lösungsverhaltens zu analysieren, erhalten wir durch einmalige Integration der Ähnlichkeitsgleichung den Ausdruck als:

Das Auferlegen der Randbedingung bei \(\xi =0\) ergibt \(C_1=F''(0)\). Die erneute Anwendung der Randbedingungen bei \(\xi =1\) und die Neuordnung der Terme ergibt

Die weitere Integration dieses Ausdrucks ergibt

Diagramme von F, \(F_{\xi }\) und \(F_{\xi \xi }\) durch Variation von \(\lambda\) (Streckwand \(\lambda >0\)) im achsensymmetrischen Fall.

Darstellungen von F, \(F_{\xi }\) und \(F_{\xi \xi }\) durch Variation von \(\lambda\) (Streckwand \(\lambda >0\)) im Zweidimensionalen Fall.

Darstellungen von F, \(F_{\xi }\) und \(F_{\xi \xi }\) durch Variation von \(\lambda\) (schrumpfende Wand \(\lambda <0\)) im Zweidimensionalen Fall.

Diagramme von F, \(F_{\xi }\) und \(F_{\xi \xi }\) durch Variation von \(\lambda\) (schrumpfende Wand \(\lambda <0\)) im achsensymmetrischen Fall.

Die Ergebnisse der vorliegenden Studie werden unter Berücksichtigung des Nanofluids analysiert, dessen Basisflüssigkeit aus Wasser und Aluminiumoxid-Nanopartikeln besteht. Die Lösungen für verschiedene Wandbewegungsparameter \(\lambda\) sind in den Abbildungen grafisch dargestellt. 2, 3, 4, 5. Die Abbildungen 2 und 3 zeigen die Diagramme von F, \(F_{\xi }\) und \(F_{\xi \xi }\) für die Streckwandbedingung (\(\lambda >0). \)) mit Basisflüssigkeit und mit Nanoflüssigkeiten für rotationssymmetrische und zweidimensionale Fälle. Der Zustand der schrumpfenden Wand wird in Abb. 4 untersucht. Es ist zu erkennen, dass F und \(F_\xi\) eine erhöhte Größe aufweisen, \(F_{\xi \xi }\) jedoch bei Nanoflüssigkeiten im Vergleich zu herkömmlichen Flüssigkeiten eine verringerte Größe aufweist . Wir können beobachten, dass für \(\lambda>0\) die Geschwindigkeitsdiagramme der Streckwandbedingungen mit zunehmendem Abstand von der Wand eine zunehmende Natur aufweisen und mit zunehmendem Wert von \(\lambda\) die Geschwindigkeit höher wird. Die Diagramme von \(F_{\xi \xi }\) zeigen ein monoton abnehmendes Verhalten mit zunehmendem \(\lambda\) sowohl für zweidimensionale als auch für achsensymmetrische Fälle. Wir können die höheren Größen von F, \(F_{\xi }\) und \(F_{\xi \xi }\) für Nanoflüssigkeiten bemerken.

Aus Abb. 4 und 5 können wir beobachten, dass für \(\lambda <0\) die schrumpfende Wandbedingung sowohl F als auch \(F_{\xi }\) einen abnehmenden Charakter aufweist, \(F_{\xi \xi }\) jedoch eine zunehmende Natur zeigt Verhalten mit abnehmendem \(\lambda\). Wir können den Schnittpunkt in den Diagrammen von \(F_{\xi }\) in der Nähe von \(\xi =0,5\) erkennen. Das Verhalten ist sowohl für zweidimensionale als auch für achsensymmetrische Fälle ähnlich und unterscheidet sich nur mit der Größe, wie aus den Abbildungen ersichtlich ist. Auch hier können wir die höheren Beträge von F, \(F_{\xi }\) und \(F_{\xi \xi }\) für Nanoflüssigkeiten erkennen.

Zur weiteren Analyse des Strömungsmusters wird die Stromfunktion definiert als \(\psi =\sqrt{\frac{1}{t}}x^{1+\epsilon }f\left( \frac{y}{\sqrt{ t}}\right)\) und Stromlinien werden wie in den Abbildungen dargestellt dargestellt. 6, 7, 8 in verschiedenen Situationen mit Standardeinheiten für physikalische Größen. Aus Gründen der Diskussion der Ergebnisse ohne Einschränkung der Allgemeingültigkeit wird davon ausgegangen, dass die kinematische Viskosität eine Einheit ist. Abbildung 6A zeigt das Strömungsfeld im zweidimensionalen Flüssigkeitsfilm mit Streckwand (\(\lambda >0\)) bei unterschiedlichen Zeitschritten \(t=1\) und \(t=5\). Wir können sehen, dass sich die Flüssigkeit nach links bewegt und eine Stromlinie mit einer Geschwindigkeit von Null aufweist, die im Strömungsbereich zwei Teile erzeugt. Im unteren Teilbereich beginnt sich die Flüssigkeit nach rechts zu bewegen. Im achsensymmetrischen Fall können wir beobachten, dass sich die Strömung in den unteren Bereich verlagert hat, wie in Abb. 6B dargestellt. Strömungsmuster sind in diesem Fall fast ähnlich wie im zweidimensionalen Fall. Wir können die dichten Stromlinien bei höheren x-Koordinaten erkennen. Für schrumpfende Wände (\(\lambda =-0,2\)) sind Strömungsfelder in den Abbildungen dargestellt. 7A und B bei unterschiedlichen Zeitschritten \(t=1\) und \(t=5\) für 2D- bzw. achsensymmetrische Fälle. Stromlinien sind in einer einheitlichen Reihenfolge ausgerichtet und die gesamte Flüssigkeit fließt in die linke Richtung. Die Filmdicke wird mit der Wachstumszeit höher. Die Abbildungen 8A und B zeigen das Strömungsfeld bei ruhender Wand (d. h. \(\lambda =0\)) bei unterschiedlichen Zeitschritten \(t=1\) bzw. \(t=5\) für 2D- und achsensymmetrische Strömung Muster. In dieser besonderen Situation bewegt sich die Wand nicht und die Filmflüssigkeit bewegt sich nach links.

Stromlinien der Filmströmung für unterschiedliche Zeitschritte \(t=1\) und \(t=5\) für zweidimensionale und achsensymmetrische Streckungsströmungsmuster (\(\lambda =2\)).

Stromlinien der Filmströmung für unterschiedliche Zeitschritte \(t=1\) und \(t=5\) für zweidimensionale und achsensymmetrisch schrumpfende (\(\lambda =-0,2\)) Strömungsmuster.

Stromlinien der Filmströmung für unterschiedliche Zeitschritte \(t=1\) und \(t=5\) für zweidimensionale und achsensymmetrische Strömungsmuster mit konstanter Wand (\(\lambda =0\)).

Für große Werte von \(\lambda\) gibt es ein bestimmtes Muster von \(F_{\xi \xi }\). Um mehr Intuition für das Verhalten der Lösung auf der höheren Skala von A zu erhalten, wurde daher eine erweiterte Analyse durchgeführt. Indem man \(F=\lambda \phi (\xi )\) ausdrückt und dies in die Gleichung einsetzt. (10) erhalten wir

mit den Grenzbeschränkungen verbunden

Wenn \(\lambda\) ausreichend größer ist, wird der Term \(\frac{\xi }{2}\phi _{\xi \xi }+\phi _\xi\) im Vergleich zu \(\lambda (1+\epsilon )\phi \phi _{\xi \xi } -\lambda \phi _\xi ^2\). Um \(\phi _{\xi \xi \xi }\) ein- oder auszuschließen, vereinfachen wir Gleichung. (15) durch Approximation von \(\beta\) als \(\beta ^2=\sigma ^2\lambda ^\alpha A\left( 1+\frac{1}{\Gamma }\right)\) unter Annahme von groß \(\lambda\) und \(\alpha <0\). Unter Verwendung dieser Gleichung in Gl. (15) bleiben wir bei

den Randbedingungen unterworfen

Basierend auf dem Wert von \(\alpha\), Gl. (17) lässt sich auf verschiedene Gleichungen reduzieren. Wenn \(-1<\alpha <0\), gilt für eine höhere Skala von \(\lambda\), Gl. (17) nimmt die Form an

Die allgemeine Lösung für Gl. (19) kann erhalten werden als

Zwei beliebige Randbedingungen (18) werden von dieser Lösung nicht erfüllt. Daher ist \(-1<\alpha <0\) keine angemessene Annahme. Wenn \(\alpha <-1\), Gl. (17) wird

Wir erhalten die Parabelfunktion als allgemeine Lösung hierfür gegeben durch

die keine der beiden Randbedingungen erfüllen kann. Eine akzeptable Option ist die Annahme von \(\alpha =-1\) mit Gl. (17) wird

Der Fluss eines Casson-Nanoflüssigkeitsfilms an einer sich instabil bewegenden Wand mit einer speziell beschriebenen Oberflächengeschwindigkeit vorbei wurde untersucht. Die regulierenden Navier-Stokes-Ausdrücke werden in eine Ähnlichkeits-ODE mit vordefinierten Geschwindigkeitsfunktionen umgewandelt. Die resultierenden Ähnlichkeitsausdrücke werden dann numerisch bearbeitet. In den beiden unterschiedlichen Strömungsrichtungen sind unterschiedliche Geschwindigkeits- und Schubspannungseigenschaften zu beobachten, während die Geschwindigkeit eine monotone Abweichung ohne Nulldurchgangspunkte aufweist. Allerdings weist die Scherspannung bei vielen Randbedingungen einen nichtmonotonen Charakter auf. Das Strömungsfeld zeigt, dass sich die Flüssigkeit beim Strecken der Wand nach links bewegt und eine Stromlinie mit einer Geschwindigkeit von Null aufweist, die im Strömungsbereich zwei Teile erzeugt. Im unteren Teilbereich beginnt sich die Flüssigkeit nach rechts zu bewegen. Im achsensymmetrischen Fall können wir beobachten, dass sich die Strömung in den unteren Bereich verlagert hat. Bei einer schrumpfenden Wand sind die Stromlinien in derselben Reihenfolge ausgerichtet und die gesamte Flüssigkeit fließt in die linke Richtung.

Alle während dieser Studie generierten oder analysierten Daten sind in diesem veröffentlichten Artikel [und seinen ergänzenden Informationsdateien] enthalten.

Erdbeschleunigung (\(\text {ms}^{-2}\))

Dicke des Flüssigkeitsfilms (\(\text {m}\))

Zeit (\(\text {s}\))

Flüssigkeitsdruck (\(\text {Pa}\))

Umgebungsgasdruck (Pa)

Geschwindigkeit entlang der x-Richtung (\(\text {ms}^{-1}\))

Oberflächenbewegungsgeschwindigkeit (\(\text {ms}^{-1}\))

Geschwindigkeit entlang der y-Richtung (\(\text {ms}^{-1}\))

Koordinatenachsen

Flüssigkeitsdichte (\(\text {kgm}^{-3}\))

Dimensionslose Filmdicke

Stream-Funktion

Casson-Flüssigkeitsparameter

Kinematische Viskosität (\(\text {Pas}^{-1}\))

Flow-Konfigurationsparameter

Wandbewegungsparameter

Ähnlichkeitsvariable

Volumenanteil der Nanopartikel

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Diese Arbeit wurde durch das Projekt Nr. 129257 unterstützt, das mit Unterstützung des Nationalen Forschungs-, Entwicklungs- und Innovationsfonds Ungarns umgesetzt wurde.

Open-Access-Finanzierung durch die Universität Miskolc.

Fakultät für Mathematik, Siddaganga Institution of Technology, Tumkur, Karnataka, Indien

GP Vanitha

Abteilung für Studien und Forschung in Mathematik, Tumkur-Universität, Tumakuru, Karnataka, 572103, Indien

KC Shobha & B. Patil Mallikarjun

Fakultät für Mathematik, Davanagere University, Davanagere, Karnataka, Indien

US Mahabaleshwar

Institut für Maschinen- und Produktdesign, Universität Miskolc, Miskolc, 3515, Egyetemváros, Ungarn

Gabriella Bognár

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KCS und GPV: Konzeptualisierung des Problems, Modellierung und Lösung des Problems, Modellierung und Lösung des Problems, formale Analyse, Darstellung der grafischen Ergebnisse, Verfassen des Originalentwurfs, ebenfalls Mitwirkung bei der Modellierung und Lösung des Problems, Programmierung in MatLab und Mathematica. BPM, USM, GB: Schreiben-Rezension und Bearbeitung, Validierung der Ergebnisse, alle Autoren stellten das Manuskript nach seiner internen Bewertung fertig.

Korrespondenz mit Gabriella Bognár.

Die Autoren geben an, dass keine Interessenkonflikte bestehen.

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Nachdrucke und Genehmigungen

Vanitha, GP, Shobha, KC, Mallikarjun, BP et al. Casson-Nanoflüssigkeitsfilm fließt über eine instationäre, sich bewegende Oberfläche mit zeitlich variierender Streckgeschwindigkeit. Sci Rep 13, 4074 (2023). https://doi.org/10.1038/s41598-023-30886-4

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Eingegangen: 01. Oktober 2022

Angenommen: 02. März 2023

Veröffentlicht: 11. März 2023

DOI: https://doi.org/10.1038/s41598-023-30886-4

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